En Mathématiques, une fraction continue ou fraction continuée est une expression de la forme suivante :
x = a 0 + cfrac1{a 1 + cfrac1{a 2 + cfrac1{a 3 + …}}} Ici,
a0 désigne un
entier et si
n est strictement positif,
an est un entier strictement positif. Si d'autres numérateurs que 1 sont autorisés, l'expression résultante est une fraction continue généralisée.
Les fractions continues offrent une méthode pour représenter les nombres réels, utile en approximation diophantienne : d’une manière générale, les fractions continues fournissent les meilleures approximations des nombres réels par des nombres rationnels ; cette propriété est à l’origine d’algorithmes d’approximations de racines carrées ou de démonstrations de l’irrationalité ou de la transcendance de nombres comme π ou e, la base du Logarithme néperien. Une propriété est que l’expression en fraction continue d’une Racine carrée d’un entier strictement supérieur à un et sans facteur carré est périodique, ce qui permet l’étude de l’équation de Pell-Fermat.
Les fractions continues possèdent une longue histoire, les mathématiciens indiens du moyen-age en font usage. Cela n'empêche pas ce domaine d'être encore un sujet de recherche actif. Au XXe siècle pas moins de 1 500 mathématiciens ont publié sur cette question.
Préambule
Conflit de traduction
Pour
Jean Dieudonné :
Le terme traditionnel en français est « fraction continue », ce qui risque d'entraîner des confusions fâcheuses lorsque la fraction dépend d'un paramètre variable ; l'anglais évite cette confusion en disant « continued » et non « continuous ». On rencontre ainsi parfois en français la traduction littérale : « fraction continuée ». Dans cet article, le terme de fraction continue est celui utilisé.
Introduction par l’exemple
Un nombre rationnel : 415/93
L’objectif est de déterminer la fraction continue de 415/93. Dans un premier temps cherchons l’entier strictement inférieur à 415/93 qui approxime le mieux la fraction. Cet entier est égal à 4 et donne lieu à l’égalité suivante :
415
–––––
93 | = { color{Red }4} + | 43
–––
93 |
Le reste est une fraction comprise entre zéro et un, l'étape suivante consiste à approximer son inverse 93/43 par sa partie entière, notée a1, le calcul suivant permet d’y arriver :
93
–––
43 | = 2 + | 7
–––
43 | text{donc } | 43
–––
93 | = | 1
–––––––––––
2 + 7/43 | text{et } | 415
–––––
93 | = { color{Red }4} + frac 1 |
En réitérant le processus, on obtient :
43
–––
7 | = 6 + | 17
–––
| text{et } | 415
–––––
93 | = { color{Red }4} + cfrac 1}}} |
- Le coefficient ap est appelé coefficient d'indice ou de rang p ou encore quotient incomplet d'indice ou de rang p de la fraction continue.
- Le coefficient xp est appelé quotient complet d'indice ou de rang p de la fraction continue.
- La fraction suivante, noté est appelée réduite d'indice ou de rang p.
| = a 0 + cfrac 1 | { | a 1 + cfrac 1{a 2 + | 1
–––––
… a p | } | } |
Représentation géométrique
L'Algorithme d'Euclide permet de calculer une fraction continue dans le cas des nombres rationnels. Cet algorithme admet dans ce cadre l'interprétation géométrique suivante : soit à calculer la fraction continue du rationnel x = p/q, on considère un rectangle de longueur p et de largeur q, et on le pave par des carrés de côté q.
Si x est entier alors le pavage comporte exactement x carrés. Sinon, si a0 désigne le nombre de carrés insérés dans le rectangle, il s'agit du premier terme de la fraction continue. Il reste une bande non pavée de dimension q x b1 avec b1 égal à p - a0.q ; on pave cette bande avec des carrés de dimension maximale, c'est-à-dire de côté x1. Le nombre de carrés est égal au deuxième terme a1 de la fraction continue. En réitérant la méthode, on obtient l'intégralité des coefficients ap.
Dans l'image ci-contre, on pave le rectangle 30 x 13 par deux carrés de côtés 13. Il reste une bande de longueur 13 et de largeur 4. En terme de fraction continue, on obtient l'égalité :
30
–––
13 | = 2 + | 4
–––
13 | = { color{Red }2} + | 1
–––––
13/4 |
Ensuite, on remarque qu'il est possible de remplir la bande restante de 3 carrés de coté 4 et il reste une bande de longueur 4 et de largeur 1. Ce qui permet de terminer le calcul de la fraction continue :
| 13 = 3 × 4 + 1 ⇒ | 30
–––
13 | = { color{Red }2} + | 1
––––––––––––––––––––––
(3 × 4 + 1 )/4 | = { color{Red }2} + frac 1 = |
La même logique permet de trouver le rationnel dont on connait le développement en fraction continue. Dans l'image de gauche on peut retrouver le rationnel dont le développement est . Les trois petits carrés donnent la taille du carré suivant (3). Les deux carrés moyens et le petit carré donnent la taille du carré plus grand (7), le carré plus grand (7) et le carré moyen (3) donnent le dernier carré (10) et les deux derniers carrés donne la longueur du rectangle (17). La fraction recherchée est égale à 17/10.
Le processus s'arrête car p et q sont commensurables c'est-à-dire qu'il existe une longueur l et deux entiers a et b tels que p = l.a et q = l.b.
Considérons maintenant un rectangle de longueur L et de largeur l. Si le quotient L / l n'est pas rationnel, c'est-à-dire si les longueurs L et l sont incommensurables, le processus ne s'arrête pas.
Tel est le cas pour la figure de droite représentant un rectangle d'or, c'est-à-dire un triangle dont le rapport de la longueur sur la largeur est égal à φ le Nombre d'or. On ne peut placer qu'un carré dans chaque bande ce qui amène :
ϕ = On retrouve une figure ainsi que des résultats analogues à ceux associés à l'étude de la Suite de Fibonacci.
Premières propriétés
Dans le reste de l'article
p désigne un entier positif, inférieur à
n si la fraction continue est finie.
Par définition de la fraction continue, on dispose de l'égalité :
x = - Si p est différent de 0 et de n alors xp est un réel supérieur à 1, et ap est un entier strictement positif.
Ceci provient de la définition de
x p comme inverse de la différence entre un réel non entier et sa partie entière, et de la définition de
a'p comme partie entière de x
p.- Si un nombre réel positif x admet un développement en fraction continue de la forme , alors, son inverse 1/x admet pour développement en fraction continue dans le cas où a0 est nul, et dans les autres cas.
Soit hp et kp des entiers, avec kp strictement positif, qui soient premiers entre eux et tels que la fraction hp/kp soit égale à la réduite d'indice p de la fraction continue.
- Les égalités suivantes sont vérifiées :
begin{align } h 0 = a 0 , & h 1 = a 0 a 1 +1, & h p = a p h p - 1 +h p - 2 k 0 = 1, & k 1 = a 1 , & k p = a p k p - 1 +k p - 2 end{align } Cette propriété est la conséquence de :
- L'égalité suivante est vérifiée, si p est supérieur ou égal à 2 :
| ∀ y ∈ R, | | = | y h p - 1 +h p - 2
––––––––––––––––
y k p - 1 +k p - 2 |
Ainsi que de la proposition :
- L'égalité suivante est vérifiée :
k p h p - 1 -k p - 1 h p = (-1) p Pour permettre d'utiliser la relation de récurrence dès l'indice 1, il est possible d'utiliser la convention h-1 égale 1 et k-1 égale 0. Si les coefficients de la fraction continue sont tous égaux à 1, les entiers hp et kp vérifient la relation de récurrence de Fibonacci, ce sont des nombres de Fibonacci consécutifs, ce qui explique la concordance entre les deux figures. Les rectangles qui la composent vérifient tous la divine proportion encore appelée la proportion d'or. Cette figure est une de celles permettant de construire la Spirale d'or, illustrée sur la figure de droite.
- L'égalité suivante est vérifiée, si p est supérieur ou égal à deux :
| ∀ y ∈ R, | | = | y h p - 1 +h p - 2
––––––––––––––––
y k p - 1 +k p - 2 |
Montrons cette propriété par récurrence, si p est égal à deux :
| = a 0 + | 1
–––––––––––
a 1 + 1/y | = | ya 0 a 1 + a 0 + y
–––––––––––––––––––––
a 1 y + 1 | = | y h 1 +h 0
–––––––––––
y k 1 +k 0 |
Supposons la propriété vraie à l'ordre p - 1. Elle est en particulier vraie pour la valeur ap + 1/p, ce qui montre la deuxième égalité ci-dessous :
| begin{array } {rl } & = | | \ n& = | (a p + 1/y)h p - 1 + h p - 2
–––––––––––––––––––––––––––––
(a p + 1/y)k p - 1 + k p - 2 | \ n& = | y (a p h p - 1 + h p - 2 ) + h p - 1
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
y (a p k p - 1 + k p - 2 ) + k p - 1 | \ n& = | y h p +h p - 1
––––––––––––––
y k p +k p - 1 | n end{array } n |
Soient les suites (sp) et (tp) définies par les formules de récurrences suivantes :
begin{align } s 0 = a 0 , & s 1 = a 0 a 1 +1, & s p = a p s p - 1 +s p - 2 t 0 = 1, & t 1 = a 1 , & t p = a p t p - 1 +t p - 2 end{align }- L'égalité suivante est vérifiée :
t p s p - 1 -t p - 1 s p = (-1) p Montrons cette égalité par récurrence sur p. Si p est égal à 1, on a :
t 1 s 0 - t 0 h 1 = a 1 a 0 - 1.(a 1 a 0 + 1) = (-1) 1 Supposons vérifiée cette égalité à l'ordre p - 1 et vérifions là à l'ordre p. Le théorème précédent montre que :
begin{array } {rl } t p s p - 1 -t p - 1 s p & = (a p t p - 1 + t p - 2 )s p - 1 - t p - 1 (a p s p - 1 + s p - 2 )\ n& = -(t p - 1 s p - 2 - t p - 2 s p - 1 )\ n& = -(-1) p - 1 = (-1) p end{array } n- La suite (hp) (resp. (kp) est confondue avec la suite (sp) (resp. (tp)) :
Les deux termes hp et kp sont premiers entre eux par hypothèse. Les deux termes sp et tp sont premiers entre eux d'après l'Identité de Bézout et la proposition précédente.
Le ratio hp/kp est égal à la réduite d'indice p par hypothèse. Le ratio sp/tp est égal à la réduite d'indice p d'après la première propriété établie dans cette boite déroulante.
Enfin les deux suites (kp) et (tp) sont strictement positives.
Les trois dernières propriétés démontrent la proposition.
Notations pour les fractions continues
En dehors de la notation en usage dans cet article, celle de Pringsheim est utilisée en particulier pour les fractions continues généralisées :
| x = a 0 + | 1 ∣
––––––––
∣ a 1 | + | 1 ∣
––––––––
∣ a 2 | + | 1 ∣
––––––––
∣ a 3 |
On trouve aussi, plus rarement :
| x = a 0 + | 1
–––––
a 1 + | 1
–––––
a 2 + | 1
–––––
a 3 + |
Développement d'un nombre rationnel
Propriétés
Les fractions réduites d'un développement en fraction continue sont des
nombres rationnels.
- Les nombres rationnels sont les seuls dont le développement en fraction continue est fini.
Par ailleurs, pour les fractions continues finies :
= - Il existe exactement deux représentations en fraction continue d'un nombre rationnel et l'une des deux représentations possède comme valeur du dernier élément de sa suite un.
Par exemple :
= = 9/4 = 2,25 En général, le choix canonique est celui où le dernier terme du développement est supérieur à 1.
- Une fraction réduite d'indice p est égale à un nombre rationnel :
Démontrons ce résultat par récurrence sur
p. Si
p est égal à
zéro, la fraction réduite est un entier donc un rationnel.
Supposons le résultat vrai pour toute fraction réduite d'indice p - 1 et montrons le pour une fraction réduite fp d'indice p. Par définition de fp, il existe un entier a0 et une fraction réduite x1 d'indice p - 1 tels que fp = a0 + 1 / x1. Par hypothèse de récurrence, x1 est un nombre rationnel, 1 / x1 l'est aussi et a0 + 1 / x1 l'est encore. Ceci montre que fp est rationnel et termine la démonstration.
- La représentation en fraction continue de x est finie si et seulement si, x est un nombre rationnel :
Si la représentation en fraction continue de
x est finie, alors
x est rationnel d'après la proposition précédente.
Réciproquement montrons que si x est rationnel, il admet une représentation finie. Soit p et q deux entiers tels que x soit égal à p/q. Ici q désigne un entier strictement positif. Montrons par récurrence sur q que x admet une représentation finie.
Si q est égal à 1, alors x est égal à p, ce qui fournit une représentation en fraction rationnelle finie.
Supposons la propriété vérifiée pour toutes les fractions admettant un dénominateur strictement plus petit que q. La Division euclidienne de p par q montre l'existence de deux entiers d et r tels que :
| p = d • q + r, text{ avec } r< q text{donc } | p
––
q | = d + | r
––
p | = d + | 1
–––––
p/r |
L'hypothèse de récurrence montre que la fraction p/r admet un développement fini en fraction continue. Le remplacement de la valeur p/r dans l'expression précédente fournit un développement fini en fraction continue de p/q ce qui termine la démonstration.
- Il existe exactement deux représentations en fraction continue d'un nombre rationnel x et l'une des deux représentations possède comme valeur du dernier élément de sa suite 1 :
Si x est un entier, il n'existe que deux manières d'écrire x en fraction continue :
| x = x = (x-1) + | 11
–––
| text{et } x = = |
En revanche, si
x n'est pas un entier, la valeur
a0 est nécessairement unique et égale à la
Partie entière de
x :
Si
a0 n'est pas égal à la partie entière de
x, alors le quotient complet d'indice
1 x1 est soit négatif soit strictement plus petit que
1, ce qui n'est pas conforme à la définition d'une fraction continue.
Ce raisonnement ne s'applique pas uniquement au quotient complet d'indice 0, c'est-à-dire x, mais à tout quotient complet. Ce qui termine la démonstration.
Algorithme d'Euclide
Article détaillé : . La Division euclidienne, à travers l'algorithme d'Euclide, permet de calculer la fraction continue d'un nombre rationnel x. Le développement est obtenu en prenant la liste des quotients successifs dans cet algorithme. Illustrons cette propriété par l'exemple 233/177 :
| 233 = 177 × { color{Red }1} + 56 text{et } | 233
–––––
177 | = 1 + | 56
–––––
177 | = 1 + | 1
––––––––
177/56 | , |
ce qui amène :
| a 0 = 1, x 1 = | 177
–––––
56 | . |
En continuant l'algorithme d'Euclide, on obtient :
| 177 = 56 × { color{Red }3} + 9 text{et } | 177
–––––
56 | = 3 + | 1
–––––
56/9 |
et donc :
| a 1 = 3, x 2 = | 56
–––
9 | , | 233
–––––
177 | = { color{Red }1} + frac 1, |
puis
56 = 9 × { color{Red }6} + 2, 9 = 2 × { color{Red }4} + 1, 2 = 1 × { color{Red }2} + 0, et donc :
| a 2 = 6, a 3 = 4, a 4 = 2, | 233
–––––
177 | = { color{Red }1} + cfrac 1 = | | , tanh | ( | 1
––
2 | ) | = | e 1/2 - e -1/2
––––––––––––––––
e 1/2 + e -1/2 | = | | p ∈ N - {0} |
La conclusion d'Euler, est parfaitement exacte. Sa méthode pour montrer qu'un nombre n'est pas rationnel est démontrée avec une rigueur correspondant à nos critères actuels, qui lui permettent de conclure :
- Les nombres réels e et √e ne sont pas rationnels.
L'approche utilisée ici consiste à étudier la valeur du nombre ayant pour fraction continue les coefficients 2, 1,2,1, 1,4,1, ... . La suite de l'article montre que la suite des fractions réduites (
hn /
kn) est convergente, que sa limite
x admet pour développement en fraction continue celle des coefficients utilisés et qu'il n'existe qu'un unique
Nombre réel ayant pour fraction continue exactement la suite des coefficients utilisés.
Pour trouver la limite de la suite des fractions réduites, il suffit de trouver celle de n'importe quelle suite extraite. L'aspect quasi-périodique de la fraction continue amène à considérer la suite (h3p / k3p).
Dans toute fraction continue,
hn et
kn vérifient une relation de récurrence linéaire, généralisant celle de la suite de Fibonacci. Cette relation s'exprime sous forme de matrice 2x2 :
| ∀ n ∈ N - {0} | | binom{h n - 1 }{h n - 2 } = binom{h n }{h n - 1 } text{et } n | | binom{k n - 1 }{k n - 2 } = binom{k n }{k n - 1 } |
La quasi périodicité de la fraction continue étudiée ici justifie les définitions suivantes :
M p (1) = N p (1) × … × N 0 (1).On trouve les premières valeurs suivantes, pour la suite Mp(1) :
| M 0 (1) = | | , M 1 (1) = | | , M 2 (1) = | |
Une simple récurrence montre que la première ligne de la matrice Mp(1) correspond aux coefficients (h3p, k3p) et la deuxième ligne à (h3p-1, k3p-1). La démonstration se limite ainsi à montrer que la fraction formée par les termes de la première ligne de la matrice possède pour limite la base du logarithme.
La fonction exponentielle possède des propriétés analytiques fortes. Ces propriétés sont essentielles pour mener à bien la démonstration, cette approche est à la base de la notion d'approximant de Padé. Une méthode consiste à considérer les matrices
Mp(t) comme une généralisation de la définition précédente. Elles représentent des fonctions de l'ensemble des nombres réels dans l'espace des matrices 2x2 à coefficients réels. Chaque coefficient de la matrice est un polynôme. La définition précise est la suivante :
| ∀ p ∈ N N p (t) = |
(
| 2p+1 + t | 2p+1 |
)
| | 2p+1 | 2p+1 - t |
| , |
| M p (t) = N p (t) × … × N 0 (t) = |
(
| f p (t) | g p (t) |
)
| | g p (-t) | f p (-t) |
|
Ce qui donne les expressions par récurrence :
f p (t) = (2p+1 + t) f p - 1 (t) + (2p +1)g p - 1 (-t) text{et } g p (t) = (2p+1 + t) g p - 1 (t) + (2p +1)f p - 1 (-t)On remarque en effet que si fp(t) et gp(t) désigne les coefficients de la première ligne de la matrice Mp(t), les coefficients de la deuxième ligne sont gp(-t) et fp(-t). On obtient, pour premières expression des suites (fp(t)) et (gp(t)) :
begin{align } f 0 (t) & = 1+ t, & f 1 (t) & = 6 + 4t + t 2 , & f 2 (t) & = 60 + 36t + 9t 2 + t 3 g 0 (t) & = 1, & g 1 (t) & = 6 - 2t & g 2 (t) & = 60 - 24t + 3t 2 end{align }Par récurrence, on établit que fp(t) est un polynôme de degré p + 1 de plus grand coefficient égal à (2p + 1)! / p!. De même, gp(t) est un polynôme de degré p, de plus grand coefficient égal à celui de fp(t) et sans racine sur l'intervalle . La découverte qui porte le nom du mathématicien Henri Padé est que la fraction fp(t)/gp(t) possède le même développement en Série entière sur les 2p + 1 premiers termes que celui de la fonction exponentielle. En fait, il n'existe pas d'autre fraction rationnelle d'aussi bas degré possédant un développement en série entière aussi proche de l'exponentielle. Cette propriété, ainsi que la Convergence uniforme de la suite de fractions rationnelles fp(t) / gp(t) vers la fonction exponentielle sur l'intervalle , permet de démontrer la proposition.
- La somme des 2p + 1 premiers termes de la série entière gp(t).e t est égale à fp(t) :
Montrons ce résultat pas récurrence sur p. Si p est égal à zéro, on remarque de f0(t) correspond à l'approximation tangente de l'exponentielle et g0(t) au polynôme constant un. La proposition est trivialement vérifiée.
Supposons le résultat démontré à l'ordre p - 1, avec la notation de Landau, si ψp-1(t) désigne la fonction de R dans R définie par :
ψ p - 1 (t) = e t g p - 1 (t) - f p - 1 (t) = α (t 2p + β t 2 p + 1 ) + O (t 2 p + 2 ) α, β ∈REn effet, la fonction ψp-1(t) admet manifestement un développement en série entière, car elle est le produit de polynômes et de la fonction exponentielle et l'hypothèse de récurrence montre que sa série commence au terme de puissance 2p. La notation des constantes α et β ainsi séparées n'est pas usuelle, sa raison d'être apparaît dans la suite de la démonstration. Considérons la fonction φp-1 définie ci-dessous et déterminons son développement limité :
| t ≠ 0 ϕ p - 1 (t) = e t | ψ p - 1 (-t)
––––––––––––
ψ p - 1 (t) | =(1 + t + O (t 2 )) • | t 2p - β t 2 p + 1 + O (t 2 p + 2 )
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
t 2p + β t 2 p + 1 + O (t 2 p + 2 ) |
En continuant le calcul, on obtient :
| ϕ p - 1 (t) =(1 + t + O (t 2 )) | 1 - β t + O (t 2 )
–––––––––––––––––––––––
1 + β t + O (t 2 ) | =(1 + t)(1 - 2 β t)+ O (t 2 ) = 1+ (1-2 β) t +O (t 2 ) |
On note γ le coefficient (1 - 2β)-1. Remplacer φp-1(t) par sa valeur, puis multiplier chaque membre de l'égalité par ψp-1(t), et remplacer les occurences de ψ par leurs expressions, donne les égalités:
| e t | ψ p - 1 (-t)
––––––––––––
ψ p - 1 (t) | = (1 + γ -1 t)+O (t 2 ) |
e t ((1 + γ -1 t)g p - 1 (t) + f p - 1 (-t) ) = (1 + γ -1 t)f p - 1 (t) + g p - 1 (-t) +O (t 2 p + 2 )Sous réserve de montrer que le coefficient γ est égal à 2p + 1, on obtient ensuite, en reconnaissant l'expression définissant par récurrence les fonctions fp(t) et gp(t) :
e t (( γ + t)g p - 1 (t) + γ f p - 1 (-t) ) - (( γ + t)f p - 1 (t) + γ g p - 1 (-t) ) = e t g p (t) - f p (t) = O (t 2 p + 2 )Le développement limité montre la proposition annoncée.
- Le coefficient γ est égal à 2p + 1 :
L'algèbre linéaire permet de calculer ce coefficient. La méthode consiste à déterminer la valeur de α à l'aide de la série de coefficients nuls dans le développement en série de e t.gp-1(t). On remarque que la fonction fp(t) est un polynôme de degré p + 1, tous les termes de la série gp(t).e t strictement supérieurs à p + 1 et inférieurs ou égal à 2.p + 1 sont nuls, d'après la proposition précédente. Notons a0, a1, ... , ap-1 les coefficients du polynôme gp-1(t), e0, e1, ... , ej, ... ceux de la série entière e t et b0, b1, ... , bj, ... ceux de la série entière e t.gp-1(t) : begin{align } g p - 1 (t) & = a 0 + a 1 x + … + a p - 1 x p e t & = e 0 + e 1 x + … e j x j + … n e t g p - 1 (t) & = c 0 + c 1 x + … c j x j + … end{align }On note u le vecteur de R p de coordonnées les coefficients de gp-1(t) (a0, a1,... ,ap-1) , v k celui de coordonnées b k+p-1, ... b k écrit dans l'ordre inverse de telle manière à ce que le coefficient c k se calcule à l'aide du vecteur v k dans et <.,.> le produit scalaire canonique de R p. On obtient les égalités :
| k ≥ p+1 ⇒ c k = 〈 u, v k 〉 = | p - 1
Σ
j = 0 | a j e k-j text{avec } v k = | 1
–––
k! | • (1, k, k (k-1), …, | p - 2
Π
j = 0 | (k -j)) |
Avec ces notations, le paragraphe précédent indique que le vecteur u est orthogonal aux p - 1 vecteurs vp+1, ..., v2p-1. Un calcul de déterminant montre que cette famille de p -1 vecteurs est libre, elle forme une base de l'hyperplan de R p orthogonal de u. Le facteur γ est donné par β, le ratio c2p+1 / c2p, les valeurs c2p+1 et c2p se calculent à l'aide des vecteurs v2p+1 et v2p. Si ces deux vecteurs ne sont pas dans l'orthogonal de u, c2p+1.v2p - c2p.v2p+1 l'est :
c 2p = 〈 u, v 2p 〉, c 2 p + 1 = 〈 u, v 2 p + 1 〉 text{et } 〈 u,c 2 p + 1 v 2p - c 2p v 2 p + 1 〉 = 0Un argument de dimension montre qu'une combinaison linéaire de v2p et v2p+1 possède des coefficients proportionnels au couple (c2p+1, -c2p) si et seulement si elle est élément de l'hyperplan. Il suffit de trouver une combinaison linéaire de v2p et v2p+1 dans l'orthogonal de u pour connaître le ratio c2p+1 / c2p et donc β. Autrement dit le calcul de β revient à trouver une combinaison linéaire nulle et non triviale entre les p + 1 vecteurs : vp+1, ... v2p+1, le rapport des deux derniers coefficients est égal à l'opposé de β. Dans un premier temps, recherchons une suite (δi) de coefficients vérifiant les relations :
| ∀ k ∈ | p
Σ
i = 0 | δ i | k - 1
Π
j = 0 | (p+i+1-j) = 0 |
Le Coefficient binomial offre une solution, il suffit de remarquer que :
| ∀ k < p | d k
–––––
dt k | t p + 1 (1-t) p = | d k
–––––
dt k | ( | p
Σ
i = 0 | (-1) i binom{p }{i } t p+1+i) = | p
Σ
i = 0 | (-1) i binom{p }{i } | k - 1
Π
j = 0 | (p+1+i-j)t p+1+i-k |
L'égalité précédente, prise au point t = 1 montre le résultat recherché. En terme de combinaison linéaire, on obtient l'égalité :
p
Σ
i = 0 | (-1) i (p+1+i)! binom{p }{i } v p+1+i = 0, 〈 u, (2p+1)!v 2 p + 1 - p (2p)!v 2p 〉 = 0 text{et } β = | p
–––––
2p+1 |
On en déduit : | γ = | 1
–––––––
1-2 β | = | 1
––––––––––––––––––
1 - 2p/(2p+1) | = | 2p+1
–––––––––––
2p+1 -2p | = 2p+1 |
Considérons la fonction λpψp(t) : | λ p ψ p (t) = λ p (e t g p (t) - f p (t) ) text{avec } λ p = | p!
–––––––––
(2p+1)! |
Le paragraphe précédent montre que les 2p+1 premiers termes de son développement en série sont nuls. Chacun des termes suivant est obtenu par somme des produits d'un polynôme de coefficients toujours inférieurs à un et des coefficients de la série de l'exponentielle. Le coefficient de x k si k est plus grand que 2p + 1 est majoré par p+1 / (k - p)!. Ce fait, ainsi que la nullité des 2p + 1 premiers coefficients montre que la suite (p! / (2p + 1)!) ψp(t) tend vers zéro au voisinage de l'unité :
lim
p → ∞ | λ p (e • g p (1) - f p (1) ) = 0 |
Une récurrence permet d'établir que λpgp(1) est une fonction dont la valeur n'est jamais inférieure à 1/2. En divisant la limite précédente par λpgp(1), on obtient :
lim
p → ∞ | e - | f p (1)
––––––––
g p (1) | = 0 |
Il a été montré que fp(1) / gp(1) est égal à (h3p, k3p). La suite des réduites d'indice 3p converge vers e, comme il est établi que la suite des réduites converge, sa limite est égale à e, ce qui termine la démonstration.
Meilleure approximation
Le développement en fraction continue d'un nombre réel fournit une suite de nombres rationnels, les réduites qui constituent des approximations du nombre réel initial. Plus précisément, la suite des réduites de rangs pairs approxime par excès le réel et celle des rangs impairs par défaut. Réciproquement, si l'on considère une suite (an) telle que a0 est un entier et an un entier strictement positif si n est supérieur à zéro, la suite des réduites de la fraction continue admettant les an comme coefficients converge vers une limite finie x (qui est un réel irrationnel) dont le développement en fraction continue (qui est unique dans ce cas où x n'est pas rationnel) est la fraction continue de coefficients an.
Les fractions réduites fournissent en un certain sens les meilleures approximations rationnelles d'un nombre réel : hn /kn est une approximation située à une distance de x inférieure à 1 / kn2, et, si une fraction p / q est une approximation située à une distance de x inférieure à 1 / q 2 alors p/q est une réduite de x. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation.
Une conséquence du paragraphe précédent est qu'il n'existe qu'un nombre fini d'approximations vérifiant cette propriété pour les nombres rationnels. L'usage de ce principe pour déterminer la nature d'un nombre est à l'origine de nombreuses méthodes formant un point de départ du domaine appelé approximation diophantienne. Joseph Liouville utilise ce résultat de meilleure approximation pour trouver les premières preuves de transcendance de nombres réels, portant sur des nombres actuellement appelés nombres de Liouville. Liouville s'exprime ainsi : « Il suffira de donner aux quotients incomplets μ [note : appelés réduites dans cet article] un mode de formation qui les fasse grandir au-delà du terme indiqué, pour obtenir une fraction continue dont la valeur ne pourra satisfaire aucune équation algébrique ... ».
En théorie algébrique des nombres le résultat de meilleure approximation permet de démontrer que toute solution de l'équation de Pell-Fermat s'obtient avec une fraction continue.
Fraction continue d'un irrationnel positif
La valeur x désigne maintenant un nombre irrationnel strictement positif. La suite (an) est infinie et ne prend que des valeurs positives.- Les deux suites (hn) et (kn) sont strictement croissantes et ont pour limite l'infini.
En effet, cette proposition est la conséquence directe de la relation de récurrence établie au paragraphe Premières propriétés. Une récurrence montre que la valeur de kn est au moins égale à 2n/2.La suite des réduites est convergente, quelques propositions montrent la nature de cette convergence :
- La différence entre deux réduites successives est :
h n
–––
k n | - | h n - 1
–––––
k n - 1 | = | (-1) n + 1
–––––––––
k n k n - 1 |
- Les réduites de rangs pairs et impairs définissent deux suites adjacentes convergeant vers x.
Ce résultat s'exprime aussi sous la forme suivante :
- La valeur x est la limite de la série alternée :
| x = a 0 + | ∞
Σ
n = 0
| (-1) n + 1
–––––––––
k n k n + 1 |
Si (an) est une suite d'entiers strictement positifs et (sn) la réduite est la n ième somme partielle de la série précédente qui est convergente. Si x désigne la limite de la série, alors la fraction continue de x est donnée par . Ainsi, toute suite d'entiers strictement positifs, sauf peut être le premier, correspond au développement en fraction continue d'un réel.La différence entre x et une réduite est évaluée par les formules suivantes :
- : Pour tout entier n, la différence entre la valeur x et la réduite d'indice n est donnée par la formule suivante, si xn+1 désigne le quotient complet d'indice n + 1 :
| x - | h n
–––
k n | = | (-1) n
––––––––––––––––––––––––––––
k n (k n - 1 + x n + 1 k n ) | text{ou encore } n | 1
–––––––––––––––––––
k n (k n + 1 +k n ) | <|x- | h n
–––
k n | |< | 1
–––––––––
k n k n + 1 |
Il suffit en effet de remarquer que 0 < xn < 1 si xn désigne le quotient incomplet d'indice n. En conséquence, n'importe quelle réduite qui précède immédiatement un grand quotient est une approximation proche de la fraction continue. En effet si an est grand la différence entre x et la réduite d'indice n est petite.- La différence entre deux réduites successives est :
h n
–––
k n | - | h n - 1
–––––
k n - 1 | = | (-1) n + 1
–––––––––
k n k n - 1 |
C'est une conséquence de la dernière des Premières propriétés : | n | h n
–––
k n | - | h n - 1
–––––
k n - 1 | = | h n k n - 1 -k n h n - 1
––––––––––––––––––––––
k n k n - 1 | = | (-1) n + 1
–––––––––
k n k n - 1 |
- Les réduites de rangs pairs et impairs définissent deux suites adjacentes convergeant vers x :
La formule précédente permet de calculer hn+2/kn+2 - hn/kn. | n | h n + 2
–––––
k n + 2 | - | h n
–––
k n | = | h n + 2
–––––
k n + 2 | - | h n + 1
–––––
k n + 1 | + | h n + 1
–––––
k n + 1 | - | h n
–––
k n | = n | (-1) n + 1
––––––––––––
k n + 2 k n + 1 | + | (-1) n
–––––––––
k n + 1 k n | = | (-1) n + 1
–––––––––
k n + 1 | ( | 1
–––––
k n + 2 | - | 1
–––
k n | ) | n |
On en déduit que la suite des réduites de rangs pairs est croissante et celle des réduites de rangs impairs décroissante. L'écart entre deux termes consécutifs est inférieur à 2-n. Ceci démontre que les suites sont adjacentes.- La valeur x est la limite de la série alternée :
| x = a 0 + | ∞
Σ
n = 0
| (-1) n + 1
–––––––––
k n k n + 1 |
La valeur x est la limite de la suite (hn/kn), qui s'écrit encore :h n
–––
k n | = a 0 -a 0 + | h 1
–––
k 1 | - | h 1
–––
k 1 | + … - | h n - 1
–––––
k n - 1 | + | h n
–––
k n | = a 0 + | ( | h 1
–––
k 1 | - | h 0
–––
k 0 | ) | + | ( | h 2
–––
k 2 | - | h 1
–––
k 1 | ) | + … + | ( | h n
–––
k n | - | h n - 1
–––––
k n - 1 | ) | = a 0 + | n
Σ
j = 1 | (-1) j + 1
–––––––––
k j k j - 1 | n |
Un passage à la limite sur n montre le résultat voulu.
- Pour tout entier n, la différence entre x et la réduite de rang n est donnée par la formule suivante :
| x - | h n
–––
k n | = | (-1) n
––––––––––––––––––––––––––––
k n (k n - 1 + x n + 1 k n ) |
L'expression du réel x en fonction des premiers coefficients de son développement en fraction continue et d'un quotient complet permet d'obtenir :
| x - | h n
–––
k n | = | x n + 1 h n + h n - 1
–––––––––––––––––––
x n + 1 k n + k n - 1 | - | h n
–––
k n | = | k n h n - 1 -k n - 1 h n
––––––––––––––––––––––––––––
k n (k n - 1 + x n + 1 k n ) |
La dernière proposition du paragraphe Premières propriétés permet de conclure.
Théorème de meilleure approximation rationnelle
Les réduites forment de bonnes approximations rationnelles : - Pour tout entier n la majoration (1) est vérifiée, sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (2) et sur trois réduites consécutives, il en existe une qui vérifie la majoration (3) et :
| (1)|x - | h n
–––
k n | |< | 1
–––––
k n 2 | , (2)|x - | h n
–––
k n | |< | 1
–––––
2k n 2 | , (3)|x - | h n
–––
k n | |< | 1
––––––––
√5 k n 2 |
Il existe une réciproque à ces propriétés. Si une approximation rationnelle est bonne, elle correspond à une réduite. Ce résultat porte le nom de théorème de meilleure approximation rationnelle. Ici, n désigne un entier strictement positif.
- Soient h et k deux entiers tels que 0 < k < kn+1. La majoration suivante est vérifiée, de plus l'égalité n'a lieu que si k (resp. h) est égal à kn (resp. hn) :
|kx - h| ≥ |k n + 1 x - h n + 1 | Ce théorème possède le corollaire suivant, utilisé pour l'étude des fractions continues périodiques.
- Si h et k sont deux entiers tels que :
- Alors la fraction h / k est une réduite de x.
| |x - | h n
–––
k n | |< | 1
–––––
k n 2 |
On remarque que xn+1 est plus grand que an+1, donc l'expression xn+1.kn + kn-1 est supérieure à an+1.kn + kn-1. Le théorème 1 permet de déduire que : | |x- | h n
–––
k n | |< | 1
–––––––––
k n k n + 1 |
Il suffit de remarquer que kn+1 est plus grand que kn pour conclure.- Sur deux réduites consécutives, il en existe une qui vérifie :
| |x - | h n
–––
k n | |< | 1
–––––
2k n 2 |
Un résultat du paragraphe précédent montre que :
| | | h n
–––
k n | - | h n - 1
–––––
k n - 1 | | = | 1
–––––––––
k n k n - 1 |
La valeur x se situe entre hn / kn et hn+1 / kn+1. Ce qui signifie que x - hn / kn et hn+1 / kn+1 - x sont de même signe, et en conséquence :
| | | h n
–––
k n | - x| +| x - | h n - 1
–––––
k n - 1 | | = | 1
–––––––––
k n k n - 1 |
De plus, si a et b sont deux réels strictement positifs distincts 2.a.b est strictement inférieur à a 2 + b 2. On en déduit : 1
–––––––––
k n k n - 1 | < | 1
–––––
2k n 2 | + | 1
––––––––
2k n - 1 2 |
Ce qui démontre la majoration suivante : | | | h n
–––
k n | - x| +| x - | h n - 1
–––––
k n - 1 | |< | 1
–––––
2k n 2 | + | 1
––––––––
2k n - 1 2 |
Ce qui démontre la proposition.- Soit n un entier strictement positif et h et k deux entiers et tel que 0 < k < kn+1. La majoration suivante est vérifiée, de plus l'égalité n'a lieu que si k (resp. h) est égal à kn (resp. hn) :
|kx - h| ≥ |k n + 1 x - h n + 1 | La matrice M suivante a un déterminant égal à 1 en valeur absolue - c'est-à-dire un entier inversible. Elle définit donc un Endomorphisme inversible de Z 2 (ici Z désigne l'anneau des nombres entiers). En conséquence, il existe un vecteur colonne U tel que : | H = MU text{avec } M = |
(
| h n | h n + 1 |
)
| | k n | k n + 1 |
| , H = | | text{ et } U = | | |
On remarque de U est à coefficients entiers car H et M -1 sont à coefficients entiers.
- Les entiers u et v sont non nuls :
Si u est nul alors k=v.kn+1, avec v entier, ce qui est en contradiction avec les inégalités 0 < k < kn+1.Si v est nul alors h / k est égal à hn / kn et la proposition est démontrée.
- Les valeurs u et v sont de signes contraires :
Si v est négatif il est alors strictement négatif. L'égalité k = kn.u + kn+1.v et le fait que k soit strictement positif montrent que u est positif.Si v est positif il est alors strictement positif. L'égalité k = kn.u + kn+1.v et le fait que k soit strictement inférieur à kn+1 montrent que u est négatif.
- Conclusion :
Le calcul suivant : kx - h = x (uk n + vk n + 1 ) - (uh n + vh n + 1 ) = u (k n x - h n ) + v (k n + 1 x - h n + 1 ) et le fait que u et v soient de signes contraires tout comme x.kn - hn et x.kn+1 - hn+1 montrent que : |kx -h| = |u (k n x - h n )| + |v (k n + 1 x - h n + 1 )|>|k n + 1 x - h n + 1 | En effet, u et v sont non nul et x.kn - hn ne l'est pas non plus. Cette majoration termine la démonstration.- Si la majoration suivante est vérifiée, h / k est une réduite de x :
Par construction de la suite, il existe un entier n tel que : k n ≤ k < k n + 1 L'inégalité triangulaire et la proposition précédente montrent que : | | | h
––
k | - | h n
–––
k n | | ≤ |x - | h
––
k | | +|x - | h n
–––
k n | | = | 1
––
k | | kx -h| + | 1
–––
k n | | k n x - h n| ≤ | ( | 1
––
k | + | 1
–––
k n | ) | | kx - h| n |
En multipliant la majoration précédente par k.kn, on obtient : | |hk n - h n k| ≤ (k n + k)| kx - h|< 2k | 1
–––
2k | = 1. |
Or l'expression |h.kn - k.hn| prend sa valeur dans les entiers positifs, le seul entier positif strictement plus petit que 1 est 0, on en déduit qu'elle est nulle, ce qui termine la démonstration.Applications
Nombre de Liouville
Article détaillé : . Le fait qu'il n'existe qu'un nombre fini de fractions p/q à une distance inférieure à 1/q 2 du rationnel signifie qu'un nombre rationnel s'approxime « mal » par des fractions. Cette idée se généralise aux solutions d'une équation polynomiale de degré n. Soit α un nombre réel solution de l'équation f(x) = 0, où f désigne un polynôme de degré n à coefficients rationnels. Le théorème de Liouville donne une limite à la qualité de l'approximation de α par un nombre rationnel p / q ; précisément, il indique qu'il existe une constante réelle A telle que pour tout rationnel p/q : Une logique analogue à celle montrant l'irrationalité de e permet de construire un nombre réel x qui n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, c'est-à-dire un nombre transcendant.
Une méthode consiste à construire une suite (an) d'entiers strictement positifs et de considérer x le nombre réel ayant la suite (an) comme fraction continue. La suite (an) est définie en posant l'entier a0 égal à 1, et par la formule de récurrence :
a n + 1 = k n n , où (hn) et (kn) désignent encore les suites des numérateurs et dénominateurs (à valeurs positives) des réduites d'indice n du développement de x. Les résultats d'approximation d'un nombre réel par les convergeants de son développement en fraction continue donne alors la majoration : | ∀ n ∈ N |x - | h n
–––
k n | | < | 1
–––––––
k n n + 1 | . |
Ceci permet de montrer que le nombre x ainsi construit est transcendant grâce au théorème de Liouville.Equation de Pell-Fermat
L'équation de Pell-Fermat est une équation diophantienne, c'est-à-dire à coefficients entiers dont les solutions recherchées sont entières. Elle prend la forme suivante où n est un entier sans facteur carré et a un entier différent de zéro. x 2 - ny 2 = a Le cas traité ici est celui où a est égal à plus ou moins 1. Une solution (h, k) vérifie : | ( | h - | √
| ––
n
| • k | ) | ( | h + | √
| ––
n
| • k | ) | = ± 1 text{ou } h - | √
| ––
n
| • k = | ±1
–––––––––––––––
h +√n • k |
h/k et √n sont tous deux supérieurs à 1 et √n l'est strictement, on en déduit :
| | | h
––
k | - | √
| ––
n
| | = | 1
–––––––––––––––––––––––
(h/k +√n ) • k 2 | < | 1
–––––
2k 2 |
Une proposition précédente montre que la fraction h/k est une réduite de √n. Toute solution de l'équation se trouve dans la suite des fractions réduites de √n. Ce fait, démontré par Joseph-Louis Lagrange, permet d'établir des résultats aussi bien théoriques qu'algorithmiques sur l'équation de Pell-Fermat.
Nombre quadratique
A la différence de l'exponentielle, la racine de deux s'avère particulièrement facile à développer en fraction continue. Cette propriété provient du fait qu'à partir d'un certain rang, on retrouve un quotient complet déjà rencontré. La fraction continue est périodique à partir d'un certain rang. La racine de onze vérifie la même propriété :√
| –––
11
| = 3 + | ( | -3 + | √
| –––
11
| ) | = 3 + | 1
––––––––––––––––
1/(-3 +√11 ) | = 3 + | 1
–––––––––––––––
(3 +√11 )/2 | = 3 + | 1
––––––––––––––––––––––
3 + (-3 +√11 )/2 | = 3 + | 1
––––––––––––––––––––––––––––
3 + 1/(2/(-3 +√11 )) | = 3 + | 1
–––––––––––––––––––––
3 + 1/(3 +√11 ) |
On en déduit que a0 = 3, a1 = 3, x0 = 1/2(3 + √11) et x1 = 3 + √11. Calculons la fraction continue de x1 :
| 3 + | √
| –––
11
| = 6 + | ( | -3 + | √
| –––
11
| ) | = 6 + | 1
––––––––––––––––
1/(-3 +√11 ) | = 6 + | 1
–––––––––––––––
(3 +√11 )/2 |
Une fois encore, x2 est égal à x0, ce qui permet de conclure :
Le caractère périodique à partir d'un certain rang est le propre des nombres de la forme a + b√n si a et b sont des nombres rationnels avec b différent zéro et n un entier qui n'est pas un Carré parfait. Les propriétés de régularités sont plus profondes. Elles s'observent plus facilement sur l'exemple suivant :
Si l'on excepte le dernier nombre de la période, les différentes valeurs forment un Palindrome. Le premier terme est égal au dernier, de deuxième à l'avant-dernier etc... Cette propriété concerne les nombres au dessus de la parenthèse dans l'exemple précédent. Le dernier terme de la période est le double du dernier terme avant la période. Cette propriété est vérifiée dans l'exemple, l'unique terme avant la période ici 4 est égal à la moitié du dernier terme de la période, ici 8.Une méthode simple pour calculer effectivement la fraction continue un nombre quadratique, ainsi que les exemples 19, 61, 83, 103 et 313 sont traités dans l'article Méthode chakravala.
Propriétés
Dire qu'un nombre réel x s'écrit sous la forme a + b√n avec les conventions du paragraphe précédent revient à dire que x est racine d'un polynôme du second degré à coefficients entiers, ce qui fait l'objet de la proposition :- Un irrationnel x possède un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang si et seulement si x est solution d'une équation du second degré à coefficients rationnels.
Un tel nombre x est dit algébrique car il est racine d'un polynôme dont le terme de plus haut degré possède un coefficient égal à un et dont les coefficients sont rationnels. Dans le cas où le polynôme est de degré deux le terme utilisé est nombre quadratique. Le polynôme est appelé polynôme minimal de x.
Si le développement de x est périodique à partir du rang p alors il existe un entier n tel que l'égalité suivante soit vérifiée. Ce qui justifie la notation :
La barre signifie que la séquence ap, ap+1, ..., an se répète indéfiniment.
- Si x est la racine carrée d'un entier sans facteur carré alors la fraction continue de x prend la forme suivante :
Si l'on élimine le dernier terme 2a0 la période est symétrique. La partie symétrique pouvant ou non avoir un terme médian.Les démonstrations utilisent les techniques de l'Arithmétique. Il en existe de plusieurs natures. Les plus simples sont présentées dans l'article Méthode chakravala. Elles se fondent sur les propriétés d'un anneau d'entiers quadratiques. La démonstration historique, présentée ici, utilise d'autres techniques liées aux propriétés des formes quadratiques à coefficients entiers.
- Soit x un nombre réel, s'il admet un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang, il possède un polynôme minimal de degré deux :
Par hypothèse, le développement de x est périodique à partir d'un certain rang, noté p. On en déduit, si xp désigne le quotient complet d'indice p de x, l'égalité suivante : x p = Si hn' (resp. kn' ) désigne le numérateur (resp. le dénominateur) de la fraction continue , l'égalité suivante, conséquence du théorème 1 :
| x p = | x p h n ' + h n - 1 '
––––––––––––––––––––––
x p k n ' + k n - 1 ' | text{et } k n 'x p 2 +(k n - 1 ' - h n ')x p - h n - 1 ' = 0 ⇔ x p 2 + | k n - 1 ' - h n '
––––––––––––––––––
k n ' | {x p } - | h n - 1 '
––––––––
x p | = 0 |
Et xp possède un polynôme minimal de degré au plus deux. La valeur x est somme d'un rationnel : la réduite d'indice p et d'un irrationnel quadratique, il admet donc un polynôme minimal de degré au plus égal à deux. Comme x n'est pas un rationnel, il n'est pas racine d'un polynôme de degré un à coefficients rationnels. Son polynôme minimal est donc de degré deux.
- Soit x un nombre réel admettant un polynôme minimal de degré deux, il admet un développement en fraction continue périodique à partir d'un certain rang.
Le principe de la méthode utilisée consiste à associer une forme quadratique à chaque quotient complet, provenant de son polynôme minimal. L'analyse de ces formes quadratiques montre qu'il ne peut en exister qu'un nombre fini, le quotient complet apparaît comme une racine du polynôme associé. Il n'existe que deux racines pour chaque polynôme, soit au total qu'un nombre fini possible de quotients complets. La suite des quotients complets se répète, d'où son caractère périodique.
Par hypothèse, x est racine d'un polynôme du second degré à coefficients rationnels, noté ici α.X 2 + β.X + γ. On associe à ce polynôme la forme quadratique φ :
∀ (u,v) ∈ R ϕ (u,v) = α u 2 + β uv + γ v 2 Dans le même ordre d'idée, on associe au quotient complet d'indice j la forme quadratique φj définie par :
∀ j ∈ N - {0} , ∀ (u,v) ∈ R ϕ j (u,v) = ϕ (h j u + h j - 1 v,k j u + k j - 1 v) = α j u 2 + β j uv + γ j v 2 Un développement de l'expression définissant φj en fonction des coefficients de φ et des suites (kj) et (hj) montre l'existence des trois coefficients αj
, βj et γj
définis par l'égalité précédente.
La définition du quotient complet montre l'égalité :
| ∀ j ∈ N - {0} x = text{et } x = | h j x j + h j - 1
––––––––––––––––
k j x j + k j - 1 |
On en déduit que : | ϕ j (x j ,1) = ϕ (h j x j + h j - 1 ,k j x j + k j - 1 ) = | 1
––––––––––––––––––––––
(k j x j + k j - 1 ) 2 | ϕ | ( | h j x j + h j - 1
––––––––––––––––
k j x j + k j - 1 | ,1 | ) | = | 1
––––––––––––––––––––––
(k j x j + k j - 1 ) 2 | ϕ(x, 1) = 0 |
- La suite des coefficients (αj) est bornée en valeur absolue :
La définition de φj et le fait que φ(x, 1) soit nul montrent que : α j
–––––
k j 2 | = | 1
–––––
k j 2 | ϕ j (1,0) = | 1
–––––
k j 2 | ϕ(h j ,k j ) = ϕ | ( | h j
–––
k j | ,1 | ) | = ϕ | ( | h j
–––
k j | ,1 | ) | - ϕ(x,1) |
On en déduit :
α j
–––––
k j 2 | = α | h j
–––
k j | 2 + β | h j
–––
k j | + γ - ( α x 2 + β x + γ ) = α | ( | ( | h j
–––
k j | ) | 2 - x 2) + β | ( | h j
–––
k j | - x | ) | = | ( | h j
–––
k j | -x | ) | ( | α( | h j
–––
k j | + x | ) | + β) n |
La fraction hj / h k est une approximation dont la distance à x est toujours inférieure à 1/kj2. On en déduit que hj / h k + x est en valeur absolue inférieur à 2|x| + 1 et :
| | α j | ≤ k j 2| | h j
–––
k j | -x|(| α|(2|x|+1) + | β|) ≤ | α|(2(|x|+1) + | β| n |
Ce qui démontre l'assertion. - La suite des coefficients (γj) est bornée en valeur absolue :
Il suffit de remarquer que γj est égal à αj-1 car : ∀ j ∈ N - {0} γ j = ϕ j (0,1) = ϕ(h j - 1 ,k j - 1 ) = ϕ j - 1 (1,0) = α j - 1 Le caractère majoré de la suite (αj) permet de conclure. - La suite des coefficients (βj) est bornée en valeur absolue :
Ici réside l'essentiel de l'astuce de la démonstration de Lagrange. Il remarque que le Discriminant dj du polynôme φj(X,1) possède aussi une lecture par un déterminant. Cette propriété permet de montrer que tous les discriminants des polynômes φj(X,1) sont égaux à celui du polynôme φ(X,1) noté ici d. Par voie de conséquence, la suite (βj) est aussi bornée.
∀ j ∈ N- {0} d = β 2 - 4 α γ = β j 2 - 4 α j γ j = d j Pour s'en convaincre, notons B la base canonique de R 2 et ψj l'Endomorphisme de R 2 de matrice Mj dans la base canonique B, donnée par l'égalité suivante, un calcul de déterminant montre :
| ∀ j ∈ N - {0} M j = |
(
| h j | h j - 1 |
)
| | k j | k j - 1 |
| det( ψ j ) = h j k j - 1 - h j - 1 k j = (-1) j |
La matrice Φ de la forme quadratique φ ainsi que celle de ψj donnent une expression matricielle Φj de la forme quadratique φj. Il suffit alors de remarquer que d (resp. dj) est égal à -4 fois le déterminant de la matrice Φ (resp. Φj) pour conclure :
| Φ = | | | , d = -4 det( Φ) = -4 | ( | α β - | β 2
–––
4 | ) |
|
On en déduit : Φ j = t M j . Φ.M j , d j = -4 det( Φ j ) = -4 det( t M j . Φ.M j ) = -4 det(M j ) 2 det( Φ) = d - Conclusion:
Les trois suites (αj), (bj) et (cj) sont bornées en valeur absolue, il ne peut exister qu'un nombre fini de polynômes différents de la forme αj.X 2 + βj.X + γj. Un quotient complet est une racine d'un des polynômes précédemment cités, il ne peut en exister qu'un nombre fini. Il existe deux entiers n et p tel que xp-1 soit égal à xn. On en déduit que a p est égal à an+1 et xp à xn+1 et donc que ap+1 et égal à an+2 et ainsi de suite. Ceci montre le caractère périodique de la suite (a j).- Si x est la racine carrée d'un entier sans facteur carré alors la période de la fraction continue de x forme un palindrome :
Soit a un entier non nul alors :
| begin{align } | √
| –––––––
a 2 +1
| & = | | ,& | √
| –––––––
a 2 +2
| & = | | \ | √
| –––––––––––
(2a) 2 +4
| & = | | ,& | √
| ––––––––––––––
(2a+1) 2 +4
| & = | | end{align } |
Soit a un entier supérieur ou égal à 3 alors :
| begin{align } | √
| –––––––
a 2 -1
| & = | | ,& | √
| –––––––
a 2 -2
| & = | | \ | √
| –––––––––––
(2a) 2 -4
| & = | | ,& | √
| ––––––––––––––
(2a-1) 2 -4
| & = | | end{align } |
Applications
Equation de Pell-Fermat
Article détaillé : . Les fractions continues contiennent toutes les solutions de l'équation de Pell-Fermat si a est égal à +/-1. En fait, il en existe exactement une par période. Elle correspond à la réduite d'indice l'avant dernier terme d'une période. Par exemple, si n est égal à 61, le coefficient est indiqué en rouge et d'indice 10. Il correspond à la réduite de rang 10 et à la fraction 883 159 524/883 159 525. Cette solution correspond à la valeur -1. Celle associée à 1 est donnée par la réduite de même position dans la période suivante, c'est à dire celle d'indice 21. : 29 718 2 - 61 × 3 805 2 = -1 text{et } 1 766 319 049 2 - 61 × 226 153 980 2 = 1Entier quadratique
Articles détaillés : . Une autre question est analogue à certains égards à celle de l'équation de Pell-Fermat. Elle concerne un anneau d'entiers quadratiques. Un tel anneau est toujours composé d'éléments de la forme a + b.ω où a et b sont des nombres entiers et ω une racine d'un polynôme du second degré unitaire, c'est à dire que le coefficient du monôme dominant est égal à un et dont les coefficients sont à valeurs prises dans les entiers. Les ensembles de cette nature sont toujours des anneaux et ne contiennent que des nombres quadratiques. Ils jouent un rôle important pour la résolution d'équations diophantiennes. Par exemple si ω est le Nombre d'or, égal à 1/2(1 + √5), l'anneau est celui des entiers de Dirichlet utilisé pour la résolution du dernier théorème de Fermat dans le cas où n est égal à 5.
Une structure importante d'un anneau de cette nature est son Groupe des unités, c'est à dire l'ensemble des éléments dont l'inverse est aussi dans l'anneau. La valeur ω est soit de la forme √n, avec n un entier sans facteur carré et non congru à 1 modulo 4, soit de la forme 1/2(1 + √n) et n est un entier sans facteur carré congru à 1 modulo 4. Dans le premier cas, une unité u correspond à une fraction réduite. Elle est égale à hj + kj√n et j correspond à l'indice de l'avant dernier terme de la période. Dans le deuxième cas, elle est égale à 1/2(hj + kj√n). L'indice j se trouve aussi dans la première période et il correspond au premier indice tel que hj2 + n.kj2 est égal à +/-4.
L'unité u trouvée est particulière au sens où elle engendre toutes les autres, elle est dite fondamentale. En effet, pour toute unité v de l'anneau, il existe un entier m tel que v soit égal à u m ou à -u m. Le groupe des unités est constitué de points situés sur une des quatre branches de deux hyperboles ayant mêmes asymptotes. Cette configuration est illustrée sur la figure de droite, correspondant au cas où n est égal à 5. L'unité fondamentale est alors 1/2(1 + √5).
Si historiquement, les fractions continues ont permis d'élucider la structure du groupes des unités d'un anneau d'entiers algébriques, la technique proposée n'est pas généralisable. Elle ne s'applique qu'aux anneaux d'entiers quadratiques. Le théorème des unités de Dirichlet élucide cette structure pour tout anneau d'entiers algébriques.
Fraction continue purement périodique
Certains nombres possèdent un développement purement périodique. c'est le cas, par exemple, du Nombre d'or. La question se pose de savoir dans quel cas le développement en fraction continue est périodique pur, c'est à dire quelle condition rend le développement périodique dès le premier terme. Le nombre x est nécessairement un nombre non rationnel quadratique, c'est à dire racine d'un polynôme P(X) du second degré à coefficients dans les rationnels. La réponse s'exprime en fonction de xc, l'autre racine du polynôme annulant x. Le nombre xc est souvent appelé conjugué de x, par analogie avec la situation où les racines sont complexes. Cette démonstration est l'oeuvre d'Evariste Galois.- Le développement de x est purement périodique si et seulement si x est strictement plus grand que 1 et xc, le conjugué de x est compris entre -1 et 0.
- Si le développement en fraction continue de x est purement périodique, le quotient complet d'indice 0 : x0 est quadratique, strictement plus grand que 1 et son conjugué xc0 est donné par la formule suivante :
| x c 0 = | 1
–––––––––
x c - a 0 |
Considérons la Fraction rationnelle composée de P(X) et de a0 + 1/X. La multiplication de cette fraction rationnelle par X 2 est un polynôme Q(X) de degré 2 admettant x0 pour racine, en effet : | Q (x 0 ) = x 0 2 P | ( | a + | 1
–––
x 0 | ) | = x 0 2 P (x) = 0 |
Le nombre x0 est irrationnel, sinon x ne le serait pas. Il est de plus racine du polynôme Q(X) de degré 2 à coefficients rationnels, il est donc quadratique. Il est plus grand que 1 car tous les quotients complets le sont. Il l'est strictement car sinon x serait rationnel.
Il ne reste plus qu'à montrer la formule annoncée. L'application σ, qui à un élément de l'extension quadratique Q associe son conjugué est un Automorphisme de corps laissant Q invariant. L'égalité x0(x - a0) = 1, directement issue de la définition du quotient complet d'indice 0, montre que :
| (x- a 0 )x 0 = 1 text{donc } σ ((x- a 0 )x 0 ) = σ(1) = 1 = (x c - a 0 )x c 0 text{et } x c 0 = | 1
–––––––––
x c - a 0 |
- Si le développement en fraction continue de x est purement périodique, x est strictement plus grand que 1 et xc est strictement compris entre -1 et 0 :
Soit a0, a1, ..., an la période de x, la partie entière de x est égale à a0 et donc à an+1, ce qui montre que x est plus grand que 1, il est strictement plus grand, sinon il ne serait pas irrationnel.On dispose de l'égalité x = , ce qui montre :
| x = | xh n + h n - 1
––––––––––––––
xk n + k n - 1 | text{et } P (x) = 0 text{si } P (X) = X 2 - | h n - k n - 1
––––––––––––
k n | X - | h n - 1
–––––
k n | = 0 |
Le fait que x soit strictement positif montre que hn-1 et kn sont strictement positifs. La deuxième racine de P(X) est le conjugué xc de x, le produit des racines x.xc est égal à la constante du polynôme P(X) et est négative. Comme x est positif, xc est strictement négatif.
Enfin, on remarque que P(-1) est strictement positif, en effet :
| k n > k n - 1 text{et } h n > h n - 1 text{donc } P (-1) = | k n - k n - 1 + h n - h n - 1
–––––––––––––––––––––––––––––
k n | >0 |
On remarque que P(-1) est strictement positif, P(0) strictement négatif, le théorème des valeurs intermédiaires montre que la racine négative xc se situe strictement entre -1 et 0.- Si x est strictement plus grand que 1 et xc est strictement comprise entre -1 et 0, le le développement en fraction continue de x est purement périodique :
La méthode consiste à montrer l'existence d'un entier n tel que, pour tout j strictement positif, aj-1 est égal à aj+n-1. Ainsi, a0 est égal à an, a1 est égal à an+1 etc... Pour ce faire, on procède en deux étapes : - La suite des quotients complets (xj) est strictement supérieure à 1 et la suite (xcj) des conjugués des quotients complets est strictement compris entre -1 et 0 :
Montrons ce résultat par récurrence sur j. Si j est égal à 0, la proposition est vérifiée par hypothèse. Supposons la propriété vraie à l'ordre j et montrons là à l'ordre j + 1. L'irrationnel quadratique xj vérifie les hypothèses de la première proposition de cette boite déroulante. Son quotient incomplet d'indice 0 est égal à aj et son quotient complet à xj+1 et : | (1) x c j + 1 = | 1
––––––––––––
x c j - a j |
Par construction, aj+1 est strictement positif, xj est un irrationnel et est donc différent de 1, comme sa partie entière est au moins égal à 1, xj est strictement plus grand que 1. De plus, xcj est non nul et strictement négatif, ce qui montre que xcj - aj+1 est strictement inférieur à -1, donc que xj+1 est strictement compris entre -1 et 0. - Conclusion :
Le fait que x soit un irrationnel quadratique montre qu'à partir d'un rang p, la suite est périodique. Soit n cette période, c'est à dire : ∀ j ≥ p a j+n = a j text{et } x j+n = x j L'objectif est de montrer que p est égal à 0. Pour cela, considérons un entier m strictement positif et supérieur ou égal à p, montrons que m est strictement plus grand que p. L'égalité (1) montre : | - | 1
–––––
x c m | = a m - 1 - x c m - 1 = - | 1
––––––––
x c m+n | = a m + n - 1 - x c m + n - 1 |
On en déduit que am-1 et am+n-1 sont tous deux égaux à la partie entière de -1/xcm et ils sont égaux. Ceci permet de déduire que xm-1 et xm+n-1 le sont aussi car leurs conjugués le sont : | x c m - 1 = a m - 1 + | 1
–––––
x c m | = a m + n - 1 + | 1
––––––––
x c m+n | = x c m + n - 1 |
Le fait que am-1 et am+n-1 soient égaux et que xm-1 et xm+n-1 le soient aussi montre que m n'est pas le premier terme de la partie périodique de la suite (aj). Ceci termine la démonstration.
Fraction continue infinie non périodique
Khintchine a démontré que pour presque tous les nombres réels x, les ai (pour i = 1,2,3...) ont des propriétés surprenantes : leur moyenne géométrique est une constante (connue comme la constante de Khintchine, K ≈ 2,6854520010...) indépendante de la valeur de x. Le terme presque tous signifie que cette propriété est valable sur R - E où E est un ensemble de mesure nulle contenant entre autres, tous les rationnels et tous les nombres quadratiques.Paul Lévy a montré que la nième racine du dénominateur de la nième réduite d'un développement en fraction continue de presque tous les nombres réels approche une limite asymptotique, qui est connue comme la Constante de Lévy.
Fractions continues généralisées
Historiquement, les fractions continues généralisées sont apparues avant les fractions continues décrites jusqu'à present. La première fraction généralisée est celle trouvée par William Brouncker représentant 4 / π .Ces fractions continues généralisées sont une expression de la forme
a 0 + cfrac{b 1 }{a 1 + cfrac{b 2 }{a 2 + cfrac{b 3 }{a 3 + …}}}
où les a i et b i peuvent être des nombres réels, complexes et même des fonctions d'une ou plusieurs variables.
Exemples :
- :
4
––
π | = 1+ cfrac1{2+ cfrac{3 2 }{2+ cfrac{5 2 }{2+ cfrac{7 2 }{2+ …}}}} |
- (formule trouvée par William Brouncker)
- : tan{x } = cfrac{x }{1 - cfrac{x 2 }{3 - cfrac{x 2 }{5 - cfrac{x 2 }{ …}}}}
- (formule avec laquelle le mathématicien Johann Heinrich Lambert démontra que π est irrationnel)
- :
π
––
2 | = 1 + cfrac1{1 + cfrac1{1/2 + cfrac1{1/3+ …+ cfrac1{1/n+ …}}}} |
- (où a 0 = 1 et (a n , b n ) = (1/n, 1) quand n>0)
Les fractions continues généralisées ont des propriétés moins riches que les fractions continues et sont plus difficiles à manipuler. Il apparaît notamment des problèmes de convergence du fait que les réduites peuvent ne pas être des fractions irréductibles.
Voir aussi
Notes
Liens externes
Bibliographie
- Jean-Paul Delahaye, Le fascinant nombre π, Pour La Science, Belin, 1997 (ISBN 2-9029-1825-9)
-
- Marc Guinot, Arithmétique pour amateurs. Vol. 4 : Lagrange et Legendre Aléas, 1996 (ISBN 2-908016-71-0)
- (en) G. H. Hardy et E. M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers
- A. I. Khintchine, Continued Fractions, University of Chicago Press.
- Jean Trignan, Fractions continues & Différences finies, Editions du Choix, 1994 (ISBN 2-909028-16-X)
- Bulletin de l'APMEP n° 450